ÖdocumentstyleÄ11pt,a4wide,ukdateÅäarticleå
ÖtitleäBond Formulae Derivationå
ÖauthoräChris Thamå
Öbeginädocumentå
Ömaketitle
ÖsectionäNotationå
ÖbeginätableåÄhÅ
Öcentering
Öbeginätabularåäöcölöå
Öhline
äÖit SymbolÖ/å & äÖit DescriptionÖ/å ÖÖ
Öhline
$P$ & market value of the bond per Ö$100 face value ÖÖ
$Öomega$ & number of coupon payments per year, normally 2 ÖÖ
$i$ & market yield divided by $100Öomega$ (i.e. 12Ö% becomes .06) ÖÖ
$v$ & $Ödisplaystyle Öfracä1åä1+iå$ ÖÖ
$f$ & number of days to next coupon payment ÖÖ
$d$ & number of days in between last and next coupon payments ÖÖ
$g$ & coupon payment per Ö$100 ÖÖ
$x$ & 1 if the bond is cum-interest, 0 otherwise ÖÖ
$n$ & number of coupon payment periods from next coupon payment till
maturity ÖÖ
Öhline
Öendätabularå
Öendätableå
ÖsectionäFair Price of a bondå
This section will show a derivation of the RBA bond valuation
formula for the pricing of domestic treasury bonds (and
semi-government stock) with at least 2 coupon payments left.
Bonds with maturity dates less than 1 full coupon payment period
are discounted in the same manner as bills.
The cash flows arising from a bond comprise two components:
Öbeginäitemizeå
Öitem
The right to receive interest (coupon) payments - usually at six
monthly intervals.
Öitem
The right to receive the face value of the bond at the
expiration of its term (äÖem redemptionÖ/å).
Öendäitemizeå
Hence, to determine the present value of a bond, there are three
steps:
Öbeginäenumerateå
Öitem äÖbf Calculate the present value of interest payments.å ÖÖ
On each coupon payment date, $g$ is paid to the bond holder.
The discount factor per coupon period is $v$, since $i$ is the
yield that we expect from holding the bond for exactly one coupon
period.
If we let $j = 0, 1, ..., n$ to represent the $n+1$ coupons due
to the bond holder in the future, then the value of the $j$-th
coupon payment discounted back to the next coupon payment date
is $g v^j$. However, there are $f$ days to the next coupon
payment date, hence, the present value of the $j$-th coupon
payment is $g v^j$ multiplied by the discount factor $v^äf/då$
or $g v^äj+f/då$. Hence, the total of the present value of
coupon payments is
ÖÄ Ösum_äj=0å^n g v^äj+f/då ÖÅ
There is an added complication in that the next coupon payment
is not owed to the bond holder if the bond is purchased within
two weeks of the next coupon payment date (ex-interest bond).
More properly we should sum from $1-x$ to $n$ instead of $0$ to
$n$ so that $j=0, 1, ..., n$ for cum-interest bonds and
$j=1, 2, ..., n$ for ex-interest bonds.
Öitem äÖbf Calculate the present value of the face value.å ÖÖ
The present value of the redemption value of the bond (Ö$100) is
simply the redemption value discounted back to the settlement
date, or,
ÖÄ 100v^än+f/då ÖÅ
Öitem äÖbf Add the two present values.å ÖÖ
Hence, a fair value for the price of bond is
Öbeginäeqnarrayå
Ölabeläeq:bondp1å
P &=& Öleft( Ösum_äj=1-xå^n g v^äj+f/då Öright) + 100v^än+f/då ÖÖ
Ölabeläeq:bondp2å
&=& v^äf/då ÖleftÄ g Öleft( Ösum_äj=1-xå^n v^j Öright) +
100v^n ÖrightÅ
Öendäeqnarrayå
Öendäenumerateå
To derive the RBA bond valuation formula from our formula, we define
Öbeginäequationå
S Öequiv Ösum_äj=1å^n v^j
Ölabeläeq:Sdefå
Öendäequationå
Then,
Öbeginäeqnarray*å
S &=& v + v^2 + v^3 + ... + v^n ÖÖ
vS &=& v^2 + v^3 + v^4 + ... + v^än+1å ÖÖ
(1-v)S &=& v - v^än+1å ÖÖ
S &=& Öfracäv - v^än+1ååä1-vå
Öendäeqnarray*å
But
ÖÄ
Öfracä1åä1-vå
= Öfracä1åä1-Öfracä1åä1+iåå
= Öfracä1+iåä1+i-1å
= Öfracä1+iåäiå
= Öfracä1åäi vå
ÖÅ
So
Öbeginäequationå
S = Öfracäv - v^än+1ååäivå = Öfracä1-v^nåäiå
Ölabeläeq:Så
Öendäequationå
and we observe
Öfootnoteä
Since if $x=0$ (ex-interest) then
ÖÄ Ösum_äj=1-xå^n g v^j = Ösum_äj=1å^n g v^j = S ÖÅ
and if $x=1$ (cum-interest) then
ÖÄ Ösum_äj=1-xå^n g v^j = Ösum_äj=0å^n g v^j = 1 + S ÖÅå
that
Öbeginäequationå
Ösum_äj=1-xå^n g v^j = x + Öfracä1-v^nåäiå
Ölabeläeq:sumvnå
Öendäequationå
By substituting (Örefäeq:sumvnå) into (Örefäeq:bondp2å),
we obtain the standard RBA bond valuation formula
Öbeginäequationå
P = v^äf/då
ÖleftÄ
g Öleft( x + Öfracä1-v^nåäiå Öright) + 100v^n
ÖrightÅ
Ölabeläeq:rbaå
Öendäequationå
ÖsectionäFormula for Bond Durationå
The duration of an asset is the mean term of all future cash flows,
weighted by present value. In the case of a bond, it is equal to
the sum of present values of the interest payments and redemption
value multiplied by the years to maturity of each cash flow.
The $j$-th coupon payment has a term of
$Ödisplaystyle Öfracäj+f/dåäÖomegaå$ years, with present value
$g v^äj+f/då$. The redemption value has a term of
$Ödisplaystyle Öfracän+f/dåäÖomegaå$ years, with present value
$100v^än+f/då$.
Hence, the duration of a bond can be expressed as
Öbeginäeqnarrayå
Ölabeläeq:durdefå
D &Öequiv& Öfracä1åäPå ÖleftÖä
ÖleftÄ Ösum_äj=1-xå^n Öfracäj+f/dåäÖomegaå g v^äj+f/då ÖrightÅ
+ Öfracän+f/dåäÖomegaå 100v^än+f/då ÖrightÖå ÖÖ
&=& Öfracäv^äf/dååäÖomega På ÖleftÖä g
ÖleftÄ Ösum_äj=1-xå^n (j+Öfracäfåädå) v^j ÖrightÅ
+ 100(n+Öfracäfåädå) v^n ÖrightÖå Önonumber ÖÖ
Ölabeläeq:dur2å
&=& Öfracäv^äf/dååäÖomega På ÖleftÖä g
ÖleftÄ Öleft( Ösum_äj=1-xå^n j v^j Öright) +
Öfracäfåädå Öleft( Ösum_äj=1-xå^n v^j Öright) ÖrightÅ
+ 100(n+Öfracäfåädå) v^n ÖrightÖå
Öendäeqnarrayå
Let
Öbeginäequationå
Ölabeläeq:Sprimedefå
S^Öprime Öequiv Ösum_äj=1å^n j v^j
Öendäequationå
Then,
Öbeginäeqnarrayå
S^Öprime &=& v + 2v^2 + 3v^3 + ... + nv^n Önonumber ÖÖ
vS^Öprime &=& v^2 + 2v^3 + 3v^4 + ... + nv^än+1å Önonumber ÖÖ
(1-v)S^Öprime &=& v + v^2 + v^3 + ... + v^n - nv^än+1å Önonumber ÖÖ
&=& S - nv^än+1å Önonumber ÖÖ
&=& Öfracä1-v^nåäiå - nv^än+1å
Ömboxä by substituting (Örefäeq:Så)å Önonumber ÖÖ
S^Öprime &=& Öfracä1åäivå
Öleft( Öfracä1-v^nåäiå - nv^än+1å Öright) Önonumber ÖÖ
&=& Öfracä1åäiå Öleft( Öfracä1-v^nåäivå - nv^n Öright)
Ölabeläeq:Sprimeå
Öendäeqnarrayå
FortunatelyÖfootnoteä
If $x=1$ (cum-interest), then
ÖÄ
Ösum_äj=0å^n j v^j = 0v^0 + 1v^1 + ... + nv^n =
v + 2v^2 + ... + nv^n = S^Öprime
ÖÅ
å,
ÖÄ Ösum_äj=1-xå^n j v^j = Ösum_äj=1å^n j v^j = S^Öprime ÖÅ
Hence we substitute (Örefäeq:Sprimeå) and (Örefäeq:sumvnå) into
(Örefäeq:dur2å) to give
Öbeginäequationå
D = Öfracäv^äf/dååäÖomega På ÖleftÖä g
ÖleftÄ Öfracä1åäiå Öleft( Öfracä1-v^nåäivå - nv^n Öright) +
Öfracäfåädå Öleft( x + Öfracä1-v^nåäiå Öright) ÖrightÅ
+ 100(n+f/d) v^n ÖrightÖå
Ölabeläeq:dureqå
Öendäequationå
ÖsectionäRelationship between Duration, Modified Duration and Priceå
The bond duration $D$ can be expressed in terms of the partial
derivative of the bond price $P$ with respect to the coupon period
yield $i$ ($Öpartial P/Öpartial i$).
From (Örefäeq:bondp1å) we obtain
Öbeginäeqnarrayå
Ölabeläeq:dPdi1å
ÖfracäÖpartial PåäÖpartial iå &Öequiv&
ÖleftÄ Ösum_äj=1-xå^n -(j+Öfracäfåädå) g v^äj+f/d+1å ÖrightÅ -
(n+Öfracäfåädå) 100v^än+f/d+1å ÖÖ
Ölabeläeq:dPdi2å
&=& - Öomega v P ÖleftÖä Öfracä1åäPå
ÖleftÄ Ösum_äj=1-xå^n g Öfracäj+f/dåäÖomegaå v^äj+f/då ÖrightÅ +
Öfracän+f/dåäÖomegaå 100v^än+f/då ÖrightÖå
Öendäeqnarrayå
Substituting (Örefäeq:durdefå) into (Örefäeq:dPdi2å) gives
ÖÄ ÖfracäÖpartial PåäÖpartial iå = -Öomega v P D ÖÅ
Hence,
Öbeginäequationå
D = - Öfracä1åäÖomega v På ÖfracäÖpartial PåäÖpartial iå
Ölabeläeq:durrelå
Öendäequationå
The Modified (Hick's) Duration is defined by
Öbeginäequationå
D^Östar Öequiv ÖfracäDåä1+iå = D v
Ölabeläeq:mdurdefå
Öendäequationå
Hence, by substituting (Örefäeq:dureqå) into (Örefäeq:mdurdefå),
Öbeginäequationå
D^Östar = - Öfracä1åäÖomega På ÖfracäÖpartial PåäÖpartial iå
Ölabeläeq:mdurrelå
Öendäequationå
ÖsectionäBond Convexityå
Bond convexity is defined by
Öbeginäequationå
C Öequiv Öfracä1åäÖomega^2 På ÖfracäÖpartial^2 PåäÖpartial i^2å
Ölabeläeq:convexdefå
Öendäequationå
The second partial derivative of $P$ with respect to $i$ can be
obtained by partial differentiating (Örefäeq:dPdi1å)
Öbeginäequationå
ÖfracäÖpartial^2 PåäÖpartial i^2å =
ÖleftÄ Ösum_äj=1-xå^n (j+Öfracäfåädå) (j+Öfracäfåädå+1)
g v^äj+f/d+2å ÖrightÅ +
(n+Öfracäfåädå) (n+Öfracäfåädå+1) 100v^än+f/d+2å
Ölabeläeq:dP2didefå
Öendäequationå
Expanding $(j+Öfracäfåädå) (j+Öfracäfåädå+1)$ gives
Öbeginäeqnarrayå
(j+Öfracäfåädå) (j+Öfracäfåädå+1) &=& j^2 + (Öfracäfåädå+1)j +
Öfracäfåädåj + Öfracäfåädå (Öfracäfåädå+1) Önonumber ÖÖ
&=& j^2 + (2Öfracäfåädå+1)j + Öfracäfåädå (Öfracäfåädå+1)
Ölabeläeq:expandå
Öendäeqnarrayå
Substituting (Örefäeq:expandå) into (Örefäeq:dP2didefå) gives
Öbeginäeqnarrayå
ÖfracäÖpartial^2 PåäÖpartial iå &=&
ÖleftÖä Ösum_äj=1-xå^n
ÖleftÄ j^2 + (2Öfracäfåädå+1)j + Öfracäfåädå (Öfracäfåädå+1) ÖrightÅ
g v^äj+f/d+2å ÖrightÖå Önonumber ÖÖ
& & + (n+Öfracäfåädå) (n+Öfracäfåädå+1) 100v^än+f/d+2å Önonumber ÖÖ
&=& g v^ä2+f/då ÖleftÖä
ÖleftÄ Ösum_äj=1-xå^n j^2 v^j ÖrightÅ +
(2Öfracäfåädå+1) ÖleftÄ Ösum_äj=1-xå^n j v^j ÖrightÅ +
Öfracäfåädå (Öfracäfåädå+1) ÖleftÄ Ösum_äj=1-xå^n v^j ÖrightÅ
ÖrightÖå Önonumber ÖÖ
& & + (n+Öfracäfåädå) (n+Öfracäfåädå+1) 100v^än+f/d+2å
Ölabeläeq:dP2di2å
Öendäeqnarrayå
Let
Öbeginäequationå
Ölabeläeq:Sstardefå
S^Östar Öequiv Ösum_äj=1å^n j^2 v^j
Öendäequationå
Then,
Öbeginäeqnarrayå
S^Östar &=& v + 4v^2 + 9v^3 + ... + n^2 v^n Önonumber ÖÖ
vS^Östar &=& v^2 + 4v^3 + 9v^4 + ... + n^2 v^än+1å Önonumber ÖÖ
(1-v)S^Östar &=& v + 3v^2 + 5v^3 + ... + Än^2 - (n-1)^2Å v^n
- n^2 v^än+1å Önonumber ÖÖ
&=& v + 3v^2 + 5v^3 + ... + (2n-1) v^n - n^2 v^än+1å
Ölabeläeq:Sstar2å
Öendäeqnarrayå
Now, let
Öbeginäequationå
Ölabeläeq:Sboxdefå
S^ÖBox Öequiv Ösum_äj=1å^n (2j-1) v^j
Öendäequationå
Then,
Öbeginäeqnarrayå
S^ÖBox &=& v + 3v^2 + 5v^3 + ... + (2n-1) v^n Önonumber ÖÖ
vS^ÖBox &=& v^2 + 3v^3 + 5v^4 + ... + (2n-1) v^än+1å Önonumber ÖÖ
(1-v)S^ÖBox &=& v + 2v^2 + 2v^3 + ... 2v^n - (2n-1) v^än+1å Önonumber ÖÖ
&=& 2(v + v^2 + v^3 + ... v^n) - v - (2n-1) v^än+1å Önonumber ÖÖ
&=& 2S - v - (2n-1) v^än+1å Önonumber ÖÖ
&=& Öfracä2(1-v^n)åäiå - v - (2n-1) v^än+1å
Ömboxä by substituting (Örefäeq:Så)å Önonumber ÖÖ
S^ÖBox &=& Öfracä1åäivå
ÖleftÄ Öfracä2(1-v^n)åäiå - v - (2n-1) v^än+1å ÖrightÅ
Ölabeläeq:Sboxå
Öendäeqnarrayå
Substitute (Örefäeq:Sboxå) back into (Örefäeq:Sstar2å) gives
Öbeginäeqnarrayå
(1-v)S^Östar &=& Öfracä1åäivå
ÖleftÄ Öfracä2(1-v^n)åäiå - v - (2n-1) v^än+1å ÖrightÅ
- n^2 v^än+1å Önonumber ÖÖ
S^Östar &=& Öfracä1åäi^2 v^2å
ÖleftÄ Öfracä2(1-v^n)åäiå - v - (2n-1) v^än+1å ÖrightÅ
- Öfracä1åäivå n^2 v^än+1å Önonumber ÖÖ
S^Östar &=& Öfracä1åäi^3 v^2å
ÖleftÄ 2(1-v^n) - iv - (2n-1) i v^än+1å - n^2 i^2 v^än+2å ÖrightÅ
Ölabeläeq:Sstarå
Öendäeqnarrayå
Again, note that
ÖÄ Ösum_äj=1-xå^n j^2 v^j = Ösum_äj=1å^n j^2 v^j = S^ÖBox ÖÅ
Substitute (Örefäeq:Sstarå), (Örefäeq:Sprimeå) and (Örefäeq:sumvnå)
into (Örefäeq:dP2di2å) gives
Öbeginäeqnarrayå
ÖfracäÖpartial^2 PåäÖpartial iå &=&
g v^ä2+f/då ÖleftÖä Öfracä1åäi^3 v^2å
ÖleftÄ 2(1-v^n) - iv - (2n-1) i v^än+1å
- n^2 i^2 v^än+2å ÖrightÅ Önonumber Öright. ÖÖ
& & Öleft. + (2Öfracäfåädå+1) Öfracä1åäiå
ÖleftÄ Öfracä1-v^nåäivå - nv^n ÖrightÅ +
Öfracäfåädå (Öfracäfåädå+1) ÖleftÄ x + Öfracä1-v^nåäiå ÖrightÅ
ÖrightÖå Önonumber ÖÖ
& & + (n+Öfracäfåädå) (n+Öfracäfåädå+1) 100v^än+f/d+2å
Ölabeläeq:dP2diå
Öendäeqnarrayå
Putting (Örefäeq:dP2diå) back into (Örefäeq:convexdefå) gives
Öbeginäeqnarrayå
C &=& Öfracäv^ä2+f/dååäÖomega^2 På ÖleftÖä
g ÖleftÄ Öfracä1åäi^3 v^2å
Öleft( 2(1-v^n) - iv - (2n-1) i v^än+1å
- n^2 i^2 v^än+2å Öright) Öright. Öright. Önonumber ÖÖ
& & Öleft. + (2Öfracäfåädå+1) Öfracä1åäiå
Öleft( Öfracä1-v^nåäivå - nv^n Öright) +
Öfracäfåädå (Öfracäfåädå+1) Öleft( x + Öfracä1-v^nåäiå Öright)
ÖrightÅ Önonumber ÖÖ
& & Öleft. + (n+Öfracäfåädå) (n+Öfracäfåädå+1) 100v^n ÖrightÖå
Ölabeläeq:convexå
Öendäeqnarrayå
ÖsectionäDispersion, and its relationship with Duration and Convexityå
The dispersion of a bond $M^2$ is defined to be the sum of present
values of all future cash flows weigthed by the square of the years of
maturity of each cash flow and subtracted by the square of the bond
duration. We can express the definition of bond dispersion as
Öbeginäequationå
M^2 = Öfracä1åäPå ÖleftÖä ÖleftÄ Ösum_äj=1-xå^n
Öleft( Öfracäj+f/dåäÖomegaå Öright) ^2 g v^äj+f/då ÖrightÅ
+ Öleft( Öfracän+f/dåäÖomegaå Öright) ^2 100v^än+f/då ÖrightÖå - D^2
Ölabeläeq:dispdefå
Öendäequationå
The dispersion of a bond is related to bond duration and bond
convexity. From Örefäeq:convexdefå, we have
Öbeginäeqnarrayå
C &=& Öfracä1åäÖomega^2 På ÖleftÖä
ÖleftÄ Ösum_äj=1-xå^n (j+Öfracäfåädå) (j+Öfracäfåädå+1)
g v^äj+f/d+2å ÖrightÅ +
(n+Öfracäfåädå) (n+Öfracäfåädå+1) 100v^än+f/d+2å ÖrightÖå Önonumber ÖÖ
&=& Öfracäv^2åäÖomega^2 På ÖleftÖä ÖleftÄ Ösum_äj=1-xå^n
Öleft( (j+Öfracäfåädå)^2 + (j+Öfracäfåädå) Öright)
g v^äj+f/då ÖrightÅ +
ÖleftÄ (n+Öfracäfåädå)^2 + (n+Öfracäfåädå) ÖrightÅ
100v^än+f/då ÖrightÖå Önonumber ÖÖ
&=& v^2 ÖleftÖä Öfracä1åäPå Öleft( ÖleftÄ Ösum_äj=1-xå^n
Öleft( Öfracäj+f/dåäÖomegaå Öright) ^2
g v^äj+f/då ÖrightÅ +
Öleft( Öfracän+f/dåäÖomegaå Öright) ^2
100v^än+f/då Öright) -D^2 Öright. Önonumber ÖÖ
& & Öleft. + D^2 + Öfracä1åäÖomegaå Öfracä1åäPå Öleft(
ÖleftÄ Ösum_äj=1-xå^n Öfracäj+f/dåäÖomegaå g v^äj+f/då ÖrightÅ
+ Öfracän+f/dåäÖomegaå 100v^än+f/då Öright) ÖrightÖå
Ölabeläeq:disp2å
Öendäeqnarrayå
Subsituting (Örefäeq:dispdefå) and (Örefäeq:durdefå) into
(Örefäeq:disp2å) gives
ÖÄ C = v^2 Öleft( M^2 + D^2 + ÖfracäDåäÖomegaå Öright) ÖÅ
Hence,
Öbeginäequationå
M^2 = ÖfracäCåäv^2å - ÖfracäDåäÖomegaå - D^2
Öendäequationå
Öendädocumentå
