Kaaosta kassin t„ydelt„ ----------------------- Jos fraktaaligeometria ja kaaosteoria ovat sinulle aivan vieraita k„- sitteit„, voit avartaa kokemusmaailmaasi miellytt„v„ll„ tavalla luke- malla t„m„n tekstip„tk„n ja kokeilemalla mukana olevia ohjelmia. Jos kiinnostuksesi her„„, mene ihmeess„ k„ym„„n paikallisessa kirjastossa ja lainaa aihetta k„sittelev„„ kirjallisuutta. Aloittaa voit vaikka James Gleickin kirjasta Kaaos (Art House ISBN 951-884-012-1). Vaikka tekstist„ saattaakin saada kuvan, ett„ kaaos py”rii vain Mandelbrotin ymp„rill„, se on v„„r„. My”s muut matemaatikot ovat vaikuttaneet h„- nen ohellaan kaaosteorian kehittymiseen, kuten Lorenz kuuluisine ep„- yht„l”ineen. Toivottavasti saat ohjelmistamme aihetta iloon ja vaka- vampaankin pohdintaan maailman syvimm„st„ olemuksesta talven pimein„ iltoina - ja miksei v„h„n valoisempinakin. Jos ohjelmamme kiinnostavat Voit lainailla niist„ ideoita omiin tarkoituksiisi, mutta jos levit- telet omien ohjelmiesi l„hdekoodia ymp„riins„ toivomme, ett„ liit„t mukaan edes pienen huomautuksen kaavojen alkuper„st„. Jos kaverisi haluaa jonkin ohjelmistamme, kopioi h„nelle mieluiten kaikki paketin sis„lt„m„t ohjelmat, my”s t„m„ teksti mukaan lukien, eli s„ilyt„ ker- ran luotu kokonaisuus. Mit„ ovat fractaalit? Kaaosilmi”t syntyv„t lukemattomien yksitt„isten tapahtumien summasta. Kun tarpeeksi suuri m„„r„ valintoja tehd„„n satunnaisesti, joskin sa- mojen rajojen puitteissa voidaan saada aikaan ilmi”, joka toimii ik„„nkuin omana kokonaisuutenaan. Fractaalilla tarkoitetaan mit„ tahansa kuviota, jota voidaan zoomata „„rett”m„n paljon yksityiskohtien h„vi„m„tt„. Fractaalin zoomauksesta on aina l”ydett„viss„ alkuper„ist„ kuviota muistuttavia muotoja ja ra- kenteita. Mandelbrotin joukkoa zoomatessa toistuu aina yh„ uudestaan 'kilpikonnahahmo', mik„ on koko joukolle ilmett„ antava yleispiirre lukemattomien muiden seikkojen ohella. Ympyr„ ei ole fractaali, vaikka kaariteema n„ytt„„kin toistuvan ku- viossa. Tarkalla zoomauksella kaari n„ytt„„ suoralta viivalta. Onkin filosofinen kysymys viel„k” suora viiva on kaari, jos se ei ole en„„ tarkasteltavalla alueella mutkalla, vaikka tied„mmekin sen olevan hieman kaareva. Matemaattisessa mieless„ kaikki kauniit fractaalit ja kaaosilmi”t syntyv„t, jos samoja yksinkertaisia s„„nt”j„ noudatetaan riitt„v„n kauan ja t„sm„llisesti. Tunnuksenomaista niille on my”s vanhan tu- loksen uudelleensijoittaminen kaavaan. T„m„ aikaansaa kaavojen erit- t„in suuren alkuarvoherkkyyden, eli muutettaessa alkuarvoja aivan v„h„nkin voidaan saada aikaan aivan eri lopputulos kuin aikaisemmil- la arvoilla. T„m„ on mielenkiintoista, sill„ alkuarvojen muuttuessa hallitusti saadaan monesti mielenkiintoisia tuloksia kokonaisuuden kannalta; hyvi„ esimerkkein„ itse„„n edustavat kaikki fractaalit. Kaaokseen liittyvi„ asioita on vaikea kuvata arkip„iv„isin k„sittein. Niinp„ k„ytet„„n apuna mm. kompleksilukumatematiikkaa. Tavallinen maailma on 3 ulotteinen ja „„rett”myys tuntuu kaukaiselta k„sitet- teelt„, mutta fractaaleissa kaikki on hieman toisin. Kochin saari on 2,168.. -ulotteinen ja vaikka sen pinta-ala onkin „„rellinen, sen pii- ri on „„rett”m„n pitk„. Sit„ on aluksi vaikea uskoa, mutta huvitta- vinta onkin se ett„ sama p„tee my”s todellisten saarten rantaviivo- jen kohdalla; mit„ tarkemmin se mitataan, sit„ suurempi tulos saa- daan. Viimeist„„n atomitasolla huomataan rantaviivan venyv„n v„„j„„- m„tt„ kohti „„ret”nt„. Mist„ fractaalit tulevat? Fractaalien ehdoton is„ on Benoit Mandelbrot. H„n erosi muista aikan- sa matemaatikoista suuresti. Viel„ 60-luvulla yleinen k„sitys oli et- t„ kaikki matemaattiset ongelmat olivat ratkaistavissa harpin ja vii- voittimen avulla, mutta mandelbrot oli eri mielt„. H„n ajatteli kai- ken k„sin piirrett„viss„ olevan piirretyn. H„nt„ kiinnostivat suures- ti kaavat, jotka muut matemaatikot olivat heitt„neet roskakoriin lii- an vaikeina, hankalina ja heid„n k„ytt„miins„ metodeihin soveltumat- tomina. Perinteisen matematiikan kannattajat eiv„t pit„neet Mandelbrotista, joka h„n esitti k„sityksi„„n, joiden mukaan matematiikkaa voitaisiin tehd„ my”s katselemalla kauniita kuvia mit„„nsanomattomien kaavojen sijasta. My”sk„„n Mandelbrotin kaavat eiv„t olleet perinteisess„ mie- less„ kauniita ja niiden ratkaisu edellytti l„hes aina tietokoneen hyv„ksik„ytt”„. 70-luvun alussa tietokoneet kehittyiv„t huimaa vauhtia ja Mandelbrot p„„si kokeilemaan omia kaavojaan IBM:n laboratoriossa, joka silloin edusti alansa kehityksen ter„vint„ k„rke„. Nykyisiin koneisiin ver- rattuna melko pienell„ laskentateholla h„nen onnistui saada pari has- sua pistett„ koordinaatistoonsa. Ne olivat vain kalpea haamu siit„ mit„ tuleman piti. Tehty„„n pieni„ korjauksia kaavoihinsa ja saatuaan lis„„ v„„nt”„ koneisiin alkoi Mandelbrot piirrell„ kuvioita, joista aikaisemmin kukaan ei ollut osannut edes kuvitella. Fractaaleissa toimii tietty suhteiden tasapaino. Mandelbrot tutki klassisia maalauksia ja totesi niiss„ p„tev„n saman taustan ja etua- lan suhteen, kuin h„nen omissa kuvioissaan. H„n p„„tteli, ett„ tai- teilijan spontaani luovuus heijastaa luonnollisen kaaoksen alla vai- kuttavia fractaalilakeja. V„hitellen ihmiset alkoivat hyv„ksy„ Mandelbrotin esitt„m„t ajatukset. En„„ ei maailma ollutkaan muodostunut viivosta ja ympyr”ist„. Ihmiset alkoivat katsella ymp„rilleen ja huomasivat miten luonnon ilmi”t n„- yttiv„t samoilta kuin heid„n n„kem„ns„ kuvat Mandelbrotin joukosta. Luonnon ihmeet joutuivat aivan uuden, erilaisen tarkastelun kohteeksi. Kaikella n„ytt„„ olevan oma hieno j„rjestyksens„ aivan kuin kaaosteo- ria edellytt„„kin. El„mme Fractaalissa Puhuttaessa fractaaleista n„ytet„„n mielell„„n kauniita zoomeja Man- delbrotin joukosta. Niinp„ monelle j„„ k„sitys, ett„ fractaalit ovat vain iloisia kuvia kirjojen sivuilla, eik„ niill„ ole mit„„n tekemis- t„ arkip„iv„n todellisuuden kanssa. T„m„kin k„sitys on niin v„„r„ kuin monet muutkin h„tik”idyt johtop„„telm„t. Kuten Benoit Mandelbrot on sanonut: "Emme ainoastaan lue fractaaleista, vaan el„mme sellaisessa!" Fractaaleja voit luoda helposti, jopa ilman tietokonetta. Jos kaadat kirjan sivulle limsaa ja annat sen hetken aikaa imeyty„, voit t„ydel- l„ syyll„ kutsua saamaasi kuviota fractaaliksi. Samat haaraiset kuvi- ot toistuvat samankaltaisina tahran joka puolella. Voit toistaa ko- keen monta kertaa ja joka kerta voit h„mm„stell„ miten kukin tahra muistuttaa toistaan. Kaikki tahrat n„ytt„v„t yll„tt„v„n s„„nn”nmukai- selta. Oliko jokaisessa limsapisarassa informaatio siit„ millaiseksi tahran olisi tultava? Jokainen pisara vain pyrki samojen luonnon la- kien vaikutuksesta levi„m„„n ja imeytym„„n huokoiseen paperiin, eli samat s„„nn”t vaikuttivat homogeeniseen joukkoon, jolloin se k„ytt„y- tyi fractaalilakien mukaisesti. P”rssikeinottelijat ovat jo kauan yritt„neet ennakoida kurssien muu- toksia, mutta tuloksista saamme lukea p„iv„n lehdist„. Mandelbrot tutki p”rssikurssien heilahteluja ja huomasi miten niit„kin koskivat samat fractaalien peruss„„nn”t. Mandelbrotin mukaan voit nousta osak- keilla p”rssiss„ hetkess„ kerj„l„isest„ miljon„„riksi ja takaisin vain noudattamalla muutamia yksinkertaisia s„„nt”j„. Ihmisten ja el„inten verisuonisto, elimist”, aivot ja koko keho ovat todella hienon kehitysty”n tulosta. Tutkijat v„itt„v„t, ett„ kaikki tieto ruumiimme rakenteesta on varastoitunut jokaisessa solumme tu- massa olevaan valkuaisainemolekyyliin, DNA:han. Jos koko verisuonis- tomme kartoitettaisiin ohuimpia hiussuoniaan my”ten, pelk„st„„n sii- t„ kertyisi uskomaton m„„r„ infomaatiota. Miten n„in paljon tietoa voidaan talletaa n„in pieneen tilaan? Ehk„ tieto ei ole siell„ niin kuin me sen sinne luultavasti kirjoittaisimme. Ehk„ luonto on kehit- t„nyt huomattavasti omiamme paremman pakkausmenetelm„n. Ehk„ DNA:ssa ei ole tietoa siit„ millainen kehomme on, vaan kuvailu siit„ miten se on rakentunut. Toivottavasti tutkimus valottaa n„it„kin salaisuuksia tulevaisuudessa. Jo nyt k„ytet„„n fractaaleja apuna tiedon pakkauksessa. Tarkka v„ri- kuva vie digitaalisesti varastoituna paljon tilaa, jos se talletetaan piste kerrallaan. Tavallisesti k„ytet„„n kuvan muuttumattomuuteen pe- rustuvia pakkaustekniikoita, mutta esim. valokuvissa niill„ saadaan vain v„h„ist„ hy”ty„. Jos l”yt„isimme fractaalikaavan, joka toteut- taisi juuri halutun kuvan, supistuisivat kuvatiedostot todella pie- niksi. T„ll„ist„ kaavaa tuskin on olemassa, mutta on suunniteltu kaa- voja, jotka kuvaavat erilaisia yksityiskohtia kuvasta riitt„v„n tar- kasti. N„it„ kaavoja yhdistelem„ll„ p„„st„„n lopputulokseen, joka pienent„„ kuvatiedostoja tuntuvasti, joskin tietyt yksityiskohdat h„- vi„v„t, mutta se on tuskin silmin havaittavissa. Luonnossa kaikki n„ytt„„ toimivan kaaosteorian ennustamalla tavalla. Jopa eri s„„tilat nuodattavat fractaalista jakaumaa. Niinp„ meteoro- logit k„ytt„v„t apuna ty”ss„„n tietokoneohjelmia, jotka ennakoivat ennakoivat tulevia muutoksia s„„tilassa kaavoilla, jotka poikkeavat periaatteessa vain v„h„n kaavoista, joilla piirrell„„n ajankuluksi ruudulle kivoja kuvia. Fractaaleja ei voida k„ytt„„ ainoastaan s„„n ennustamiseen ja kuvanpak- kaukseen. Yh„ enenev„ss„ m„„rin my”s muilla aloilla ollaan siirty- m„ss„ k„ytt„m„„n tekniikoita, jotka pohjautuvat jossain mieless„ kaaosteorian lakien hyv„ksi k„ytt””n. Vain aika n„ytt„„ millainen on tulevaisuutemme, vai onko sit„ ollenkaan. Kaaosteoria ei ennusta yksitt„ist„ tapausta. Siit„ ei ole apua havain- noidessa yksitt„ist„ kohdetta, mutta kokonaisuudet, suuremmat j„rjes- telm„t, joiden osaset n„ytt„v„t liikkuvan satunnaisesti, mutta kuiten- kin samojen voimien alaisuudessa k„ytt„ytyv„t aivan uskomattomasti. Luonnossa kaikki on j„rjest„ytynyt tavalla, joka todella h„tk„hdytt„„. N„ytt„„ kuin kaikki maailmassa olisi yht„ suurta fractaalia. Ehk„ fractaalit ovat t„rke„ osa maailman syvint„ olemusta - Maailman, joka toimii joka hetki kauttaaltaan samojen luonnon lakien alaisuu- dessa, miksei kaaosteoriaa voisi soveltaa my”s siihen. Mit„ ohjelmat tekev„t? Mandel Piirt„„ perinteisen Mandelbrotin joukon. Runsaasti lis„tie- toja saat aihetta k„sittelev„st„ kirjallisuudesta. Koch on Kochin saari - kolmioista muodostunut lumihiutale. Kuvion perusta on tasasivuinen kolmio. Sen jokaisen sivun keskelle piirret„„ tasasivuinen kolmio, jonka sivun pituus on vain kolmasosa alkuper„isest„. Ja jokaisen muodostuneen kolmion sivuille piirret„„n tasasivuiset kolmiot, joiden sivun pi tuus on kolmasosa edellisten sivun pituudesta. N„in jatketaan kunnes on muodostunut hieman lumihiutaletta muistuttava ku- vio. Mukana tulevasssa ohjelmassa kuvio lasketaan valmiiksi (toistetaan edell„ kuvaillut vaiheet 4 kertaa) ennen piirtoa. L„hestyimme ongelmaa ajatellen reunaviivaa ja etenkin sit„, miten se mutkittelee l„hdett„ess„ kulkemaa tietyst„ pisteest„ tiettyyn suuntaan m„„r„r„tyn mittaisin askelin. Kolmio piirt„„ perinteisen kolmiokuvion, joka esiintyy monesti aiheesta puhuttaessa. T„h„n h„t„„n en muista kuka sen alunperin on l”yt„nyt, mutta kaikki kunnia h„nelle. Se muodostuu yht„ yksinkertaisesti kuin kaikki muutkin kuviot. Aluksi m„„ritell„„n tasasivuisen kolmion k„rkipisteet ruudulta. L„hdet„„n jostain niist„ liikkeelle ja arvotaan kahdesta j„ljelle j„„neest„ kumpaan halutaan. siirryt„„ puoleen matkaan sinne p„in, ja laitetaan siihen piste. arvo- taan uudestaa kolmesta k„rkipisteest„ minne menn„„n ja siirryt„„n puoleen matkaan sit„ kohti ja laitetaan piste. Kun t„t„ jatketaan tarpeeksi kauan syntyy kuvio, jossa on lukematon m„„r„ toinen toistaan pienempi„ kolmioita tois- tensa lomassa, sill„ jostain kumman syyst„ ei matematiik- ka salli ett„ t„ll„ systeemill„ pisteet tulisivat minne tahansa, vaan v„liin j„„ tarkan s„„nn”llisi„ kannaksia, jonne pisteill„ ei kerta kaikkiaan ole asiaa. T„m„ on yksinkertaistettu rautalankamalli fractaaligeometrian hienouksista ja kaaosteorian hienoista s„„nn”ist„, jotka koskevat t„t„kin satunnaisuuteen pohjautuvaa mallia. Hamara on itse kehitelty 'kaaosk„yr„', joka vaeltaa sinne t„nne, jakaantuu yll„tt„en nelj„ksi ja h„m„rtyy kaoottiseksi sumuk- si. Hetken kuluttua sumusta alkaa 'tiivisty„' pieni„ viivo- ja, jotka yhtyv„t ja kohtaavat toisensa yhdess„ pisteess„. Tarpeeksi kuviota katseltuaan tulee olo, ett„ pisteet kart- tavat tiettyj„ alueita ja viihtyv„t paremmin toisilla. Se olisi varmaan sopiva p„hkin„, jonka ratkaistuaan voi unohtaa toisten huomautukset intuitio-kyvyn puutteesta, huonoista ma- tematiikan lahjoista ja kehnosta mielikuvituksesta. Jossain vaiheessa syntynyt kuvio alkaa muistuttaa eritt„in paljon fysiikan kirjoista tuttuja kuvia hiukkaskiihdyttimill„ tuotetuista tuloksista, joissa kukin hiukkanen on j„tt„nyt oman j„lkens„ t”rm„tess„„n sit„ havainnoivaan laitteistoon. T„m„n vuoksi kutsumme sit„ k”yh„nmiehen kotihiukkaskiihdytti- meksi, mihin se soveltuukin eritt„in hyvin, jos pihalle ei t„ysin maisemallisten n„k”kohtien vuoksi k„y 50:n kilometrin lineaarikiihdytin ja miljardit muodostavat pankkitilill„ so- pivan tasaluvun, jota ei viitsi rikkoa. ilonen on yksi edellisen kuvion jakaantumis- ja yhtymiskohtiin syn- tyvist„ kierteisist„ kuviosta. keuhko on zoomaus yksinkertaiseen interferenssikuvioon. Keuhko on kaavoistamme vanhimpia. Ensimm„iset kuviot, jotka piirsimme t„ll„ kaavalla n„yttiv„t n„yt”n ep„tarkkuudesta johtuen aivan kuin pienilt„ keuhkoilta, joista sen nimikin juotaa juurensa. Jos kuviota liian pienell„ tai suurella zoomilla voi n„ytt„„ aivan kuin se loppuisi, mutta luulemme ett„ k„y- tettyjen trigonometristen funktioiden kantaluvut l„hestyv„t raja-arvojaan. Jos harrastat virkkausta tai pitsin nypl„yst„ l”yd„t varmasti sopivia aiheita omaper„isiin koristekuvioi- hisi keuhkosta. Jamppa t„ytt„„ ruudun moniv„rikeuhkolla. Kuviossa n„kyy hyvin sen muodostuminen toisiinsa kiertyneist„ 'putkista'. Nelj„n 'keuhkon' yhtytym„kohtiin syntyy nelihaaraisia t„hti„, jotka muistuttivat suuresti aamu-tv:n s„„profeetan rinnassa olevaa koristetta, ett„ kutsumme niit„ 'Pekka Pouta t„hdiksi' parem- man nimen puutteessa. cd-levy piirt„„ kuvion, joka on muodostunut lukemattomasta m„„r„st„ pieni„ ympyr”it„. Kaava muistuttaa paljon keuhkon kaavaa. Tekninen toteutus Mukana tulevat ohjelmat on tehty joulun pyhin„ '93 Turbo Pas- cal 7.0:lla, mutta n„pp„r„t koodarit muuttavat ne varmasti muille versioille tai kielille sopiviksi k„den k„„nteess„. ohjelmissa k„ytet„„n 256 v„rist„ 320 * 200 pisteen ja 16 v„- rist„ 640 * 400 pisteen ruutua. Pisteit„ laitellaan ruudulle joko suoralla muistin osoituksella tai BIOS-rutiinilla. Kai- kista esimerkeist„ on my”s ajettavat versiot mukana. Kiitokset J. Karvaselle avusta kaavojen kehittelyss„ ja ideoinnissa ja kiinnostuksesta fractaaleja ja kaaosta kohtaan. kommentteja voit l„hett„„: J. Vartiainen Konkolankatu 12 42100 JÄMSÄ ====== ZYMOSIS LIVES ======